球磨机数学模型

球磨机数学模型(ball mill model)描述球磨机排料粒度特性与给料特性和操作条件之间定量关系的数学表达式。球磨机数学模型主要用于球磨机的比例放大，磨矿、分级回路的模拟、设计和控制策略的研究。到20世纪80年代，

球磨机数学模型(ball mill model)

描述球磨机排料粒度特性与给料特性和操作条件之间定量关系的数学表达式。球磨机数学模型主要用于球磨机的比例放大，磨矿、分级回路的模拟、设计和控制策略的研究。到20世纪80年代，球磨机数学模型已能相当精确地描述矿石可磨性、给料速率、粒度分布和球磨机尺寸等因素对磨矿过程的影响。

理论基础 球磨机数学模型以粒级质量平衡、碎裂概率函数、碎裂分布函数和停留时间分布等概念为理论基础。

粒级质量平衡 各粒级物料应遵循平衡关系：

A=I一O+P—D (1)

式中A表示累积；I为输入；O为输出；P为产生；D为消失。式(1)的物理意义是，某i粒级物料在球磨机中的累积量等于给料中i粒级的量减去排料中i粒级的量，加上产生的i粒级的量(由大于i粒级的物料磨碎而来)，再减去消失的i粒级的量(由i粒级物料磨碎为小于i粒级的物料)。

碎裂概率函数 又称选择函数或碎裂速率函数，用Si表示。Si为i粒级物料的碎裂概率，其物理意义相当于化学反应动力学中的速率常数，故又称碎裂速率。如用H表示球磨机中物料的总量，fi表示i粒级物料所占的分数，则fiH为球磨机中i粒级的物料量，SifiH就表示i粒级物料的消失速率。如Si与磨机内的粒度分布无关，则为线性磨矿动力学；反之，则为非线性磨矿动力学。球磨机的磨矿动力学可以近似地看作是线性的。Si与球磨机操作条件关系密切。

碎裂分布函数 用bij表示，它表示j粒级的物料经一次碎裂后进入i粒级的质量分数。表示球磨机中i粒级的产生速率。碎裂分布函数与物料的碎裂特性有关，而与磨机的操作条件关系不大。碎裂分布函数的累积形式用Bij表示。Bij表示j粒级的物料经一次碎裂之后产品中粒度小于i粒级上限的物料所占的质量分数。。

停留时间分布函数 物料通过球磨机停留时间分布函数可用多级串联完全混合流来表示。如球磨机磨矿动力学是线性的，则可应用停留时间分布函数根据分批磨矿模型建立稳态连续磨矿模型。

分类 球磨机数学模型可分为分批磨矿模型、稳态连续磨矿模型和动态连续磨矿模型。

分批磨矿模型 若磨矿动力学是线性的，根据上述基本理论可以建立8种形式的分批磨矿模型，其中最常用的是时间连续、粒级离散的模型：

(2)

美国的赫布斯特(J．A．Herbst)和里德(K．J．Reid)在Si≠Sj(i≠j)的条件下，分别得到比较简单的解析解。

里德解：(3)

式中

赫布斯特解：先将式(2)写成矩阵形式

df(t)/dt =-(I-B)S f(t) (4)

通过相似变换，得到赫布斯特解，

f(t)=T J(t)T-1f(0) (5)

式(5)中T矩阵和J矩阵的元素分别为

稳态连续磨矿模型 假设球磨机的磨矿动力学是线性的，停留时间分布是齐次的，则可用集中参数模型描述球磨机的稳态连续瞎矿行为：

(6)

式中产是分批磨矿模型公式，但将其中的fi(0)用给矿粒度分布代替；E(t)是球磨机的停留时间分布。稳态连续磨矿模型的解析解与分批磨矿模型的解析解相类似，只是将e-sit用e-sit=来代替。

动态连续磨矿模型 时间连续、粒级离散的动态连续磨矿模型的一般形式为：

(7)

式中MF(t)和MP(t)分别表示f时刻磨机的给料量和排料量；和分别表示t时刻磨机给料和排料中i粒级的质量分数。

参数估计 利用分批磨矿和连续磨矿的试验结果和适当的数学方法，可以估算球磨机模型中的参数。常用的方法有零阶产出率法，奥斯汀(L．G．Austin)和勒基(T．P．Luckie)的BI、BⅡ、BⅢ法，以及反算法(非线性最优化法)。

应用 球磨机数学模型可用来进行比例放大，其方法主要是经验法和能耗法。

经验法 通过建立碎裂概率函数Si与钢球直径、球磨机直径、介质充填率、临界转速率以及磨机给矿速率等变量之间的关系来进行比例放大。

能耗法 通过建立碎裂概率函数与磨矿功耗之间的关系来进行比例放大。

展望 球磨机数学模型研究的发展方向，一是根据现有的模型提出标准的实验方法，以便更精确地确定碎裂概率函数、碎裂分布函数和停留时间分布；二是借助矿物解离模型和矿物单体解离度自动分析技术，建立统一的磨矿一解离模型。